随伴表現

リー群のリー環上への随伴表現（ずいはんひょうげん、英: adjoint representation）とは、リー群の元をリー環のある種の線型変換として表したものをいう。

定義

${\displaystyle G}$ をリー群、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ をそれに付随するリー代数（ ${\displaystyle G}$ の単位元における接空間）とする。

${\displaystyle g\in G}$ として ${\displaystyle h\in G}$ に対して ${\displaystyle \phi _{g}:G\to G,\,\phi _{g}:h\mapsto ghg^{-1}}$ を ${\displaystyle G}$ の内部自己同型写像といい、さらに微分 ${\displaystyle d(\phi _{g})_{e}=:Ad_{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ によって付随するリー代数の同型写像が得られる。

${\displaystyle Ad_{g}}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の線型写像になっていて、準同型

${\displaystyle Ad:G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto Ad_{g}}$

をリー群の随伴表現という。

リー代数の随伴表現

リー群の随伴表現の微分を ${\displaystyle ad}$ で表し、これをリー代数の随伴表現という。

関連項目

• リー代数
• AD（曖昧さ回避）